1694年5月，在时任剑桥大学卢卡斯数学证据的牛顿（IsaacNewton），与苏格兰天文体家兼数学家大卫·格雷戈里（DavidGregory）会面。据后世纪录，他们曾接头过一个看似“天文体”却又深具几何意味的3问题：若是把太阳看作一个“中心球”，那么在三维空间中，围绕它最多不错摒弃若干个大小调换的“行星球”而使它们皆与中心球仅在一个点上战争（即相切），又相互不发生叠加？这段对话的真伪虽仍存争议，却由此引出了一个延续数百年的数学难题——“吻接数问题”（KissingNumberProblem）。

2024年11月7日，咫尺斯坦福读博士的华侨女生LiAnqi与她在麻省理工学院读本科时的导师亨利·科恩（HenryCohn）于arXiv发布一篇论文，露出他们在这一问题上有了新的突破：他们提倡了全新的几何构造，使球体在17至21维空间中概况以愈加紧凑的样式相互“战争”。待统共通过论文出书经过后，这一端正可谓是自20世纪60年代以来，数学界在这些维度区间内的初次进攻突破。

发布于arXiv的论文

三维“吻接数问题”是如那边罚的？

让咱们先回到数个世纪前的接头上。在三维空间里，不错很容易在中心球周围摒弃12个球，使得每个球皆跟中心球相切。关连词，这种排布在球与球之间还留有空闲。是否存在第13个球概况塞进多出来的空间中？格雷戈里合计不错，牛顿则坚捏12已是极限。

1952年，数学家许特（KurtSchütte）和范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden）诓骗了一种奥秘的“降维”想路，将三维问题回荡为球面上的几何问题，从而为牛顿与格雷戈里跳动两个多世纪的争论画下句号——牛顿是对的，三维空间中可围绕中心球精良排布的最大球数是12。

研讨中心球周围要摒弃N个战争球，每个战争球皆必须与中心球相切，况且不可相互叠加。是以证明宗旨即是：N=12是可行的，况且N=13会导致至少两个战争球发生叠加，从而不可能达成。

咱们设单元球的球心为O，周围通盘N个战争球的球心1，2，…，皆位于单元球的名义上。咱们界说单元向量：=代表从中心到战争球球心的向量。淘气两个战争球的球心造成的夹角由向量点积公式狡计：cos=⋅。若是N个战争球均匀漫衍在单元球名义，它们之间的最小夹角min应该尽可能大，以幸免叠加，它们的最小夹角约莫为60°到63.4°。但若是咱们尝试放入第13个战争球，则这个新球必须找到一个空位，而它与其他球的夹角将变小。狡计标明，至少有两个战争球的夹角会小于所需的最小角度，导致它们的球面区域发生叠加。这也就证明了，三维空间的吻接数是12。

具体来说，他们先将中心球与外围球的球心“投影”到单元球面上：把外围球的球心与中心球的球心连线，并将该连线延迟至与单元球面相交。由于外围球皆与中心球相切，被投影到球面上的点相互之间必须保捏一定的最小夹角，以免对应的外围球产生叠加。

接着，他们在球面上为每个投影点规则一个不相互叠加的球冠，并发现：若是试图摒弃高出12个点，这些球冠的总面积就会高出球面可提供的总面积，从而造成逻辑上的矛盾。这也就证明了，三维空间的吻接数是12。

那其他维度的“吻接数问题”呢？

吻接数问题雷同适用于淘气维度的球。在一维空间，一条直线上中心球两侧不错各战争1个球，共吻接2个球。在二维空间里，情况雷同一目了然：在桌上放一枚硬币，周围最多可围上6枚紧贴它的硬币，宛如一朵雏菊开放。那么，若维度不息擢升，情况又会若何呢？

在数学中，维度暗示描摹空间所需的零丁宗旨数。举例，一维空间是一条直线，只消长度；二维空间是一个平面，具有长和宽，比如纸张上的图形；三维空间则是咱们广博生涯中的立体空间，包括长、宽、高。四维及更高维度则属于数学中的概述办法，每增多一个维度，就意味着多了一个零丁的宗旨。

举个生涯中的例子：假定你每天记录体重、身高、血压、寝息时长4个数据，你的健康景色就不错看作一个四维空间中的点，你的健康景色不错看作四维空间中的一个点，每个筹备对应一个维度。“球”则代表通盘霸道某种条款（如健康评分范围）的数据聚首。

跟着维度的升高，吻接数问题会变得愈加复杂。这是因为每增多一个维度，球体的战争点枚举样式皆会呈指数级增长。在三维空间中，最多只可有12个球围绕中心球精良贴合，而在24维空间，这一数量则暴增至近20万个，它们以超对称晶格的样式枚举，犹如一张极为精密的编织网。而在24维中考证这近二十万个点是否叠加，触及了1933亿次狡计。

此外，ag百家乐赢了100多万高维空间中的球体几何性质与低维空间大相径庭，时时颠覆咱们的直观。举例，在100维空间中，一个边长为1的超立方体（即100维正方体）的对角线长度约为10，而在二维情况下，它仅为。这一时局标明，高维球体之间的“安全距离”需要更复杂的狡计，传统枚举样式可能不再妥当，数学家需借助概述代数、信息论致使物理中的弦表面器具。

高维度的“吻接数问题”现况若何？

为了处罚在高维度的吻接数问题，数学家们输攻墨守。

2008年，奥列格·穆辛（OlegMusin）基于德尔萨特（Delsarte）线性筹备时间，通过分析球体枚举的对称性，并聚拢球面长入分析，严格证明了四维空间的吻接数为24。

在8维空间中，东说念主们遥远合计E₈格是最优的球体密堆积样式，但一直短缺严格的数学证明。线性筹备算作只可给出上界（≤240），而不可胜利证明E₈晶格不错达到240。2016年，乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（MarynaViazovska）通过构造一种至极的傅里叶变换插值函数，在E₈晶格的240个战争点上，这个函数给出了最优的距离信息，在通盘其他点上，它的傅里叶变换也保证不会允许更多的球投入。因此，8维空间的吻接数为240。

因奏效处罚8维的吻接数问题，维亚佐夫斯卡于2022年荣获数学界最高荣誉——菲尔兹奖，成为历史上第二位取得该奖项的女性丨图片

随后在2017年，维亚佐夫斯卡与亨利·科恩等衔尾者，选拔与8维空间相似的傅里叶分析算作，进一步证明了利奇（Leech）格是24维空间中最密的球体堆积结构，吻接数达196560。

这些算作高度依赖于对称性，因此，在某些对称性较弱的维度（如5、6、7维等），狡计最大吻接数变得极其穷苦。咫尺，四维（24）、八维（240）和二十四维（196560）是仅有的三个已被严格证明的高维吻接数。

因此，2022年春季，那时还在麻省理工学院读数学本科的LiAnqi在至意亨利·科恩给了她这个题目后，创造性地弃取了抛弃对称性，“离经叛说念”地去弃取了一些“歪邪的结构”，通过翻转坐标瑰丽（奇偶性调度），构造出非对称的球体排布，在17-21维中发现了新的空闲。多个近期端正皆复古这些不太容易取得的结构的远景。在当年两年里，数学家们通过误会或者冲破老例的对称性章程，得出了5、10和11维中奥秘的新构造。数学家们徐徐发现，在某些高维空间中，非对称结构可能比传统的对称晶格更优。

LiAnqi个东说念主主页上的自我先容

不外，这离澈底处罚这个问题还有很远的距离。亨利·科恩说：“也许咱们离真相还很远，因为它并莫得一种直不雅易懂的描摹。”

澈底处罚“吻接数问题”有何酷好？

那么，澈底处罚这个问题究竟有什么酷好呢？

澈底处罚吻接数问题不仅是数学上的一项进攻挑战，还在通讯、东说念主工智能和物理学等范围具有芜俚应用。

在数学上，它触及高维几何、优化表面、数论和代数几何，鼓吹高维空间优化与编码表面的发展。在无线通讯和量子通讯中，数据点的高维枚举影响信号传输后果，举例：格雷码在24维空间的最优枚举与与利奇格吻合，曾应用于NASA的旅行者1号；被而5G和量子加密中的超立方体码也依赖高维结构优化。此外，在机器学习中，高维数据分析需要优化聚类和距离度量，而吻接数问题的磋磨有助于擢升大范围数据处理和步地识别的准确性。在物理学范围，弦表面合计世界可能存在10维或11维，高维几何为归拢相对论与量子力学提供了进攻的数学框架。

因此，澈底处罚吻接数问题不仅申报了经典数学难题，也将鼓吹多个科学范围的发展。

参考文件

[1]MathematiciansDiscoverNewWayforSpheresto‘Kiss’，Quantamagazine.https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-new-way-for-spheres-to-kiss-20250115/

[2]SchütteK，vanderWaerdenB.L.DasProblemderdreizehnKugeln[J].MathematischeAnnalen，1952，125(1):325-334.

[3]MusinOR.Thekissingnumberinfourdimensions[J].AnnalsofMathematics，2008:1-32.

[4]ViazovskaMS.Thespherepackingproblemindimension8[J].Annalsofmathematics，2017:991-1015.

[5]CohnH，KumarAag百家乐规律，MillerS，etal.Thespherepackingproblemindimension24[J].AnnalsofMathematics，2017，185(3):1017-1033.

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