亚博ag百家乐 闻明的麦凯猜思终获阐发！数学家佳耦斥逐了一个未解群论难题

选自Quanta Magazine

作家：Leila Sloman

编译：杜伟、陈陈

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Späthen 的德国盘问生初度斗殴到了麦凯猜思（McKay conjecture），这是数学群论中最大的未解难题之一。

动作群论的一个闻明猜思，麦凯猜思由数学家约翰・麦凯（John McKay）于 1972 年提倡，主要触及有限群的表现论，高出是对于群的不成约特征方向性质。

最开动， Britta Späthen 的目的并莫得那么大。她但愿阐发一两个定理，迟缓推动这一猜思的处理，就像她之前许多其他数学家所作念的那样。但多年来，她一次又一次地被麦凯猜思眩惑。

像这么一心一意地追求如斯贫窭的问题可能会伤害她的学术生存，但 Britta Späthen 如故把通盘的时候齐进入其中。之后，她意志了巴黎 Jussieu 数学盘问所的数学家 Marc Cabanes，后者受到她的启发，也开动对麦凯猜思沉溺。在一齐职责时间，两东说念主坠入爱河，并最终组建了家庭。

数学中充满了极其复杂的轮廓对象，不成能完全对它们进行盘问。不外，数学家发现，时常只需搜检此类对象的一小部分即可了解它们更曩昔的属性。因此，当数学家思要谄媚一个极其复杂的函数时，他们可能只需要搜检它的一小部分可能输入的步履，就足以证据该函数对通盘可能的输入的作用。

麦凯猜思便是这么的典型例子，若是你思全面地态状一个群（一个极其难以盘问的要紧数学实体），你只需要看其中的一小部分就行了。

图（左）为 Britta Späth，（右）为 Marc Cabanes

自 20 世纪 70 年代提倡这个猜思后，数十位数学家齐曾尝试进行阐发。他们得回了部分进展，并在此经由中学到了好多对于群的常识（群是态状数学系统中多样对称性的轮廓对象）。关联词，完竣的阐发似乎仍然牛年马月。

终于，在 Britta Späth 斗殴麦凯猜思 20 年后、在她碰到 Marc Cabanes 十多年后，这对佳耦终于完成了阐发。当他们两东说念主文告着力时，共事们齐惊呆了。斯坦福大学的统计学与数学教悔 Persi Diaconis 祈福说念，「经过多年的致力于钻研，她作念到了，他们终于作念到了。」

他们在 2024 年 7 月发表了论文《The McKay Conjecture on character degrees》，著述篇幅有 68 页。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素数（primes）的力量

麦凯猜思始于对一个奇怪恰好的不雅察。

在一又友的眼中，数学家约翰・麦凯是一位「才华横溢、语言呢喃软语、别有寰球」的东说念主，他以能在出东说念主预感的所在发现数值模式而知名。这位康考迪亚大学的数学家最闻明的可能要属「怪物蟾光」猜思，该猜思在 1978 年提倡，触及怪物群（Monster group）和模时局（modular forms）之间的玄妙磋磨。最终在 1992 年得到了阐发，引起了数学界的曩昔关注。

在约翰・麦凯牺牲几年前，他还发现了好多其他要紧的关联，其中好多齐触及到了群。群是一组元素以及这些元素相互关联的方法的结合，它不错被看作是对称性的联结，即以特定步地保持一个时局、函数或其他数学对象不变的变换（transformation）。尽管群很轮廓，但它们极端灵验，而且在数学中进展了中枢作用。

1972 年，约翰・麦凯专注于有限群，即元素数目有限的群。他不雅察到，在很厚情况下，你不错通过搜检一个有限群中的很少部分元素来推断该群的要紧信息。而且，约翰・麦凯高出盘问了在原始群里面造成一个特地、较小群（被称为 Sylow 正则化子）（normalizer）的元素。

假定有一个包含 72 个元素的群，仅凭这少许不会告诉你太多信息：这么大小的群能有 50 个（每个齐不同）。然则，72 不错写成素数（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘积，即 2^3 × 3^2。时常来说，态状群大小所需要的不同素数越多，群就越复杂。你不错在这些素数的基础上将群理会为更小的子群。

这里，你不错划分得到具有 8 个（2^3）元素和 9 个（3^2）元素的子群。通过盘问这些子群，你不错了解更多关系通盘群结构的信息，比如群由哪些构建块构成。

当今，取其中一个子群，并添加一些特定元素，以创建一个特地的子群 ——Sylow 正则化子。在这个 72 元素群中，你不错为每个「8 元素」和「9 元素」的子群构建对应的不同的 Sylow 正则化子，它们划分成为 2-Sylow 正则化子和 3-Sylow 正则化子。

Sylow 正则化子以及它们所构建的子群，不错告诉数学家们好多对于原始群的信息。关联词，约翰・麦凯假定这种磋磨比任何东说念主思象中的齐要广宽，这就不再只是是通过 Sylow 正则化子洞悉一个有限群全体结构了。他断言，若是数学家思要策整齐个不错匡助他们态状群的关节量，ag百家乐可以安全出款的网站则只需搜检一组特定 Sylow 正则化子中的一个即可：Sylow 正则化子将由完全换取的数值来表现。

该量用来策划某类「表现」的数目，你不错使用被称为矩阵的数字数组来重写群的元素。这么的计数可能看起来很简略，但它能让数学家了解群中的元素若何相互关联，而且触及到了其他要紧属性的策划。

至于为什么约翰・麦凯的量对于有限群偏激 Sylow 正则化子来说应该老是换取的，似乎莫得充分的情理来证据。Sylow 正则化子可能只包含更大群中的一小部分元素。与此同期，Sylow 正则化子时常具有不同的结构。

这便是约翰・麦凯的计算，对于通盘有限群齐是如斯。若是果真这么，那么数学家的生活就会变得消弱多了：Sylow 正则化子比它们的母群更容易处理。这也默示着存在一个更深的数学真谛，一个数学家尚未掌抓的真谛。

在约翰・麦凯初度不雅察到这一恰好的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的数学家阐发了该恰好适用于一大类群。但随后，数学家们堕入了窘境。他们省略阐发该恰好适用于某个或另一个特定的群，但还有无数个群需要阐发。

因此，阐发通盘猜思似乎极端贫窭。事实阐发，此问题要思得回要紧进展，需要数学家们处理史上最艰苦的数学难题之一。

麦凯猜思的一小步，群论的一大步

对有限群的通盘构件进行分类，需要数千个阐发，花 100 多年的时候才能完成。但在 2004 年，数学家们终于奏凯地阐发，通盘的构建块齐必须属于三类中的一类，不然就属于 26 个极度值。

永久以来，数学家们一直以为，一朝完成对有限群的分类，这将有助于简化诸如麦凯猜思这么的问题。

关联词，这需要有东说念主阐发这种政策照实可行。

就在有限群分类肃肃完成的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了再行表述麦凯猜思的正确才智，只需专注于一组较小的群。

对于这个新联结中的每个群，他们齐必须展示一些比麦凯猜思提倡的更强的东西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 阐发了，若是这个更强的陈述对这些特定的群成立，那么麦凯猜思对通盘有限群齐势必成立。

Gabriel Navarro 与两位共事将群论中一个要紧的通达猜思转念为一个可处理的问题。

问题的打破口在于他们对问题的重构。尔后几年，数学家们运用这一打破处理了麦凯猜思的大部分情况。此外，这一才智还匡助他们简化了其他触及通过局部盘问全体的问题。丹佛大学的数学家 Mandi Schaeffer Fry 表现，这一才智已成为处理许多猜思的要紧蓝图。

关联词，对于一类称为「李型群」的群，新版麦凯猜思还是一个通达问题。这些群的表现高出难以盘问，要阐发它们之间的关系得志 Isaacs、Navarro 和 Malle 提倡的条目极端具有挑战性。但 Malle 的别称盘问生 Britta Späth 正在盘问这一问题。

执着于一件事的 Britta Späth

2003 年，Britta Späth 来到卡塞尔大学，开动攻读博士学位。她险些是为盘问麦凯猜思而生的：以致在高中时，她就能消耗数天以致数周的时候来钻研一个问题，她高出可爱那些考验她坚定的问题。

Britta Späth 进入了大批时候深入盘问群表现表面。盘问生毕业后，她决定运用我方在这方面的专科常识持续攻克麦凯猜思。「她有一种落拓但又极端出色的直观，」她的一又友兼消亡者 Schaeffer Fry 表现。

几年后的 2010 年，Britta Späth 赶赴巴黎西岱大学职责，恰是在何处她碰到了 Marc Cabanes。Britta Späth 经常去他的办公室求教问题。

之后，Britta Späth 和 Marc Cabanes 一齐开动入部下手阐发每一个类别中的猜思，并在接下来的十年中薪金了多项要紧着力。

经过深入盘问他们对李型群有了真切的谄媚。在盘问经由中，他们开动来往，有了两个孩子，并最终在德国假寓。

到 2018 年，他们只剩下一种李型群尚未攻克。一朝完成这一类别的阐发，他们就将阐发麦凯猜思。

持续寻找下一个执念

「攻克第四种李型群贫窭重重，令东说念主不测的周折也好多」，Britta Späth 说。但最终，她和 Marc Cabanes 缓缓阐发了这些群的表现数目与它们的 Sylow 正则化子的表现数目相匹配 —— 而且这些表现的匹配步地得志了必要的方法。终于，终末一个案例完成了。麦凯猜思的正确性也随之得以自动阐发。

2023 年 10 月，在他们对我方的阐发死心有了饱胀的信心后，他们终于在一个有 100 多名数学家的房间里文告了这一着力。一年后，他们将阐发经由发布到网上，供通盘数学界消化。曼彻斯特大学的 Radha Kessar 评价说：这是一个实足令东说念主咋舌的建设。

如今，数学家们不错通过单独盘问群的 Sylow 正规化子来盘问群的要紧性质。

在那之后，他们两东说念主持续前行，寻找他们的下一个执念。据 Britta Späth 线路，到现时为止，还莫得任何问题像麦凯猜思那样深深地眩惑她。「当你完成了一件大事之后，再找到濒临下一件大事的勇气和关爱就变得很贫窭了，或然候这真的是一场战斗。但同期，它也赋予了你每一天的意旨。」

原文连结：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/